在初中数学中，证明一条直线是圆的切线是几何部分的重要聪明点，主要依据切线判定定理和辅助线技巧。下面内容是具体技巧与步骤的
一、切线判定定理的核心
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基本定理
经过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 -
判定口诀
- 有交点，连半径，证垂直：若直线与圆有明确公共点（切点），则连接圆心与该点，证明连线与直线垂直。
- 无交点，作垂直，证半径：若直线与圆无明确公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长度等于圆的半径。
二、具体证明技巧及步骤
技巧1：有公共点（连半径，证垂直）
适用场景：已知直线与圆有交点（如题目中明确标注切点或公共点）。
步骤：
- 连接圆心与公共点，得到半径；
- 证明该半径与直线垂直。常用技巧包括：
- 勾股定理逆定理：通过计算三角形边长关系验证垂直。
- 角度代换：利用已知角（如直角、等腰三角形底角）推导垂直关系。
- 平行线性质：若半径与其他垂直直线平行，则直线与半径垂直。
示例：
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠CAD=∠B。连接OC，证明OC⊥AD即可判定AD为切线。
技巧2：无公共点（作垂直，证半径）
适用场景：直线与圆无明确交点，需构造垂线段。
步骤：
- 过圆心作直线的垂线，得到垂足；
- 证明垂线段长度等于圆的半径。常用技巧：
- 勾股定理：利用直角三角形边长关系计算距离。
- 全等三角形：通过三角形全等证明对应边相等。
- 角平分线性质：结合角平分线上的点到两边距离相等。
示例：
已知⊙O与直线AB无交点，作OC⊥AB于C，若OC=半径r，则AB为切线。
三、常见辅助线技巧
- 连半径构造垂直关系：
当切点已知时，连接圆心与切点，利用等腰三角形、平行线或角度代换证明垂直。 - 构造直角三角形：
通过勾股定理计算垂线段长度，或利用独特角（30°、45°、60°）简化证明。 - 结合角平分线或中垂线：
利用角平分线性质、三角形中位线等简化垂线段的构造。
四、典型例题解析
例题1（有切点）
题目：如图，AB是⊙O的直径，D在⊙O上，DE⊥AC。求证：DE是⊙O的切线。
解析：
- 连接OD，证明OD∥AC（利用等腰三角形性质）；
- 由DE⊥AC推导OD⊥DE，从而得证。
例题2（无切点）
题目：在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径作⊙O。求证：AB是⊙O的切线。
解析：
- 作OD⊥AB于D，证明OD=BC/2（即半径）；
- 利用三角形面积公式或勾股定理计算OD长度。
五、注意事项
- 明确切点的唯一性：切线必须与圆仅有一个公共点。
- 垂直关系的严谨证明：不可直接默认垂直，需通过几何推理验证。
- 辅助线标注清晰：在图中明确标注所作垂线或连线，避免混淆。
怎么样？经过上面的分析技巧和例题训练，可体系掌握切线的判定与应用。如需进一步练习，可参考勾股定理、全等三角形等综合题型。
